Outils de la qualité, loi normale et estimation d'une moyenne

Q: Comment construire une carte de contrôle des moyennes ?

Ligne centrale μ ; limites de contrôle μ ± 3 σ/√n ; limites de surveillance μ ± 1,96 σ/√n, avec n la taille de chaque échantillon. On reporte la moyenne de chaque échantillon et on interprète : point hors limites, série du même côté, tendance.

Q: Comment calculer un intervalle de confiance d'une moyenne ?

x̄ ± z x σ/√n, avec z de la loi normale (1,645 à 90 %, 1,96 à 95 %, 2,576 à 99 %). Si σ est inconnu et n assez grand, on le remplace par son estimation. Le programme ne couvre que l'intervalle d'une moyenne.

À retenir

Cadre programme : DCG, programme 2025 (arrêté du 4 août 2025, première session 2027), UE 11 « Contrôle de gestion », partie 4 « Exploiter les outils du contrôle de gestion pour améliorer les performances de l'organisation », sous-partie 4.3 « Aider au pilotage de la qualité » : outils de gestion de la qualité, risques liés à ces outils et à leur contrôle, conseil au décideur. Limites officielles : dans le contrôle de la qualité, seule la loi normale est abordée ; l'échantillonnage est abordé sous l'angle des estimations ; les tests d'hypothèse ne sont pas abordés ; l'intervalle de confiance n'est étudié que pour une moyenne.

Pourquoi c'est central à l'examen : dans l'épreuve écrite de 4 h, la sous-partie 4.3 donne lieu à des calculs courts et sûrs : proportion de pièces hors tolérance avec la loi normale, limites d'une carte de contrôle, intervalle de confiance d'une moyenne, taille d'échantillon. Chaque calcul doit être suivi d'une interprétation et d'un conseil. Ce sont des points faciles à gagner pour qui maîtrise la méthode.

01Les outils de gestion de la qualité

1.1 Les outils classiques

Outil	Principe	Usage
Feuille de relevé	Recueillir les données de façon structurée (types de défauts, fréquence)	Collecte
Histogramme	Représenter la répartition d'une mesure par classes	Voir la forme et la dispersion
Diagramme de Pareto	Classer les causes par importance décroissante avec cumul	Prioriser (une minorité de causes produit la majorité des effets)
Diagramme d'Ishikawa	Causes regroupées par famille (5M : main-d'œuvre, matériel, méthode, matière, milieu)	Chercher les causes
Cinq pourquoi	Remonter à la cause racine	Chercher les causes
Diagramme de corrélation	Nuage de points entre deux variables	Détecter un lien
Stratification	Séparer les données par origine (machine, équipe, lot)	Localiser la source
Carte de contrôle	Suivre une mesure dans le temps avec des limites statistiques	Surveiller la stabilité d'un procédé
Cycle PDCA	Planifier, faire, vérifier, agir	Amélioration continue
AMDEC	Recenser les modes de défaillance et en évaluer la criticité (gravité x fréquence x détectabilité)	Prévenir les défaillances

1.2 Rôle dans le pilotage

Ces outils servent à mesurer la qualité, à diagnostiquer les causes, à prévenir les défauts et à suivre les progrès. Ils alimentent le tableau de bord (cours 20) et le calcul des coûts de la qualité (cours 24).

02La loi normale pour contrôler la qualité

2.1 Rappels

Une variable aléatoire X suit une loi normale N(μ ; σ) de moyenne μ et d'écart-type σ : sa courbe est symétrique, en cloche, centrée sur μ. On passe à la loi normale centrée réduite par le changement de variable :

À retenir

T = (X - μ) / σ

T suit N(0 ; 1) et se lit dans la table. Valeurs à connaître :

Intervalle centré	Probabilité
μ ± 1 σ	68,27 %
μ ± 1,96 σ	95 %
μ ± 2 σ	95,45 %
μ ± 2,576 σ	99 %
μ ± 3 σ	99,73 %

Autres valeurs usuelles : z = 1,645 pour 90 %. La table est fournie à l'examen ; la symétrie permet de calculer toutes les probabilités : P(T ≤ - a) = 1 - P(T ≤ a).

2.2 Proportion de pièces hors tolérance

Une caractéristique X (poids, diamètre) a des limites de tolérance : limite inférieure LSI et limite supérieure LSS. La proportion de pièces non conformes est :

À retenir

P(X < LSI) + P(X > LSS)

On centre et on réduit chaque borne : z = (borne - μ) / σ.

2.3 Capabilité d'un procédé

Notion non citée par le programme, à mobiliser si l'énoncé la demande ou en fournit les formules. Elle compare la dispersion du procédé à l'étendue de la tolérance :

Indicateur	Formule	Lecture
Cp (capabilité potentielle)	(LSS - LSI) / (6 σ)	Mesure la dispersion par rapport à la tolérance ; centrage ignoré
Cpk (capabilité réelle)	Minimum de (LSS - μ) / (3 σ) et (μ - LSI) / (3 σ)	Tient compte du centrage

Repère courant : un procédé est jugé capable à partir d'un indice voisin de 1,33. Le seuil exact est fixé par l'énoncé.

2.4 Loi de la moyenne d'un échantillon

Si X suit N(μ ; σ), la moyenne d'un échantillon de taille n suit :

À retenir

$\bar{X}$ ~ N( μ ; σ / $\sqrt{n}$ )

L'écart-type de la moyenne (σ/ $\sqrt{n}$ ) est plus faible que celui d'une pièce : la moyenne varie moins. Elle sert aux cartes de contrôle et à l'estimation.

03Les cartes de contrôle

3.1 Principe

Une carte de contrôle suit, à intervalles réguliers, une statistique d'échantillon (moyenne, étendue) et la compare à des limites calculées à partir du fonctionnement normal du procédé. Elle distingue :

la variabilité naturelle (causes aléatoires, inévitables) ;
les dérives (causes assignables : réglage, usure, matière).

Elle ne dit pas si les pièces sont conformes à la tolérance : elle dit si le procédé est stable.

3.2 Carte des moyennes (μ et σ connus)

Limite	Formule
Ligne centrale	μ
Limites de contrôle (±3 σ)	μ ± 3 σ / $\sqrt{n}$
Limites de surveillance (95 %)	μ ± 1,96 σ / $\sqrt{n}$

Avec des limites à ± 3 σ/ $\sqrt{n}$ , la probabilité qu'un point sorte alors que le procédé est stable est de 0,27 % : c'est le risque de « fausse alarme ». Selon l'énoncé, les limites utilisent 3 ou un coefficient z associé à un niveau de risque (1,96 pour 95 %).

3.3 Carte des étendues et σ estimé

Carte non citée par le programme, à traiter seulement si l'énoncé la demande et fournit les coefficients. Quand σ n'est pas connu, on estime à partir des échantillons passés : moyenne des moyennes x̿ et étendue moyenne $\bar{R}$ (étendue = valeur maximale - valeur minimale d'un échantillon). Les coefficients (A2, D3, D4, d2) dépendent de n et sont fournis dans le sujet.

Carte	Limites
Moyennes	x̿ ± A2 x $\bar{R}$
Étendues	LCS = D4 x $\bar{R}$ ; LCI = D3 x $\bar{R}$
Écart-type estimé	σ̂ = $\bar{R}$ / d2

Exemple pour n = 5 (A2 = 0,577 ; D3 = 0 ; D4 = 2,114 ; d2 = 2,326), avec x̿ = 500,4 et $\bar{R}$ = 6,0 : limites des moyennes 500,4 ± 0,577 x 6,0 = 496,94 et 503,86 ; limite haute des étendues 2,114 x 6,0 = 12,68 ; limite basse 0 ; σ̂ = 6,0 / 2,326 = 2,58. Les cartes aux attributs (proportions de défectueux, nombre de défauts) reposent sur d'autres lois : hors programme UE 11.

3.4 Interpréter une carte

Signal	Interprétation
Point hors des limites de contrôle	Cause assignable probable : intervenir
Point entre limite de surveillance et limite de contrôle	Alerte : surveiller, prélever un nouvel échantillon
Série de points (par exemple 7) du même côté de la ligne centrale	Décalage de la moyenne
Tendance continue à la hausse ou à la baisse	Usure, dérive progressive
Points trop proches de la ligne centrale	Données douteuses (échantillonnage mal fait, calculs arrangés)

Les règles précises de décision (7 points ou 6, 8) sont données par l'énoncé.

04Échantillonnage et estimation

4.1 Pourquoi échantillonner

Contrôler toute la production est coûteux, parfois impossible (contrôle destructif). On prélève un échantillon que l'on suppose représentatif (tirage aléatoire) et on estime les caractéristiques de la population.

4.2 Estimation ponctuelle

Paramètre de la population	Estimateur	Remarque
Moyenne μ	La moyenne de l'échantillon $\bar{x}$	Sans biais
Écart-type σ	σ̂ = s x $\sqrt{n / (n - 1}$ ), où s est l'écart-type de l'échantillon calculé avec n au dénominateur	Correction qui rend la variance estimée sans biais (usage courant pour σ)

Si l'énoncé donne directement l'écart-type corrigé (calculé avec n - 1), on l'utilise tel quel.

4.3 Intervalle de confiance d'une moyenne

Une estimation ponctuelle ne dit pas son degré de précision. L'intervalle de confiance donne une fourchette de valeurs plausibles de μ.

À retenir

IC = [ $\bar{x}$ - z x σ / $\sqrt{n}$ ; $\bar{x}$ + z x σ / $\sqrt{n}$ ]

Niveau de confiance	z
90 %	1,645
95 %	1,96
99 %	2,576

Si σ est connu, on l'utilise.
Si σ est inconnu et que l'échantillon est assez grand (n ≥ 30 en règle générale), on le remplace par son estimation σ̂ et on conserve z de la loi normale, conformément au programme.
Demi-amplitude (précision) : e = z x σ / $\sqrt{n}$ .

À retenir

Hors programme UE 11 : intervalle de confiance d'une proportion, loi de Student pour les petits échantillons, tests d'hypothèse.

4.4 Effet des paramètres

Si...	Alors l'amplitude de l'intervalle...
Le niveau de confiance augmente (95 % à 99 %)	Augmente (z plus grand)
La taille de l'échantillon est multipliée par 4	Est divisée par 2 (racine carrée)
La dispersion σ augmente	Augmente

4.5 Taille d'échantillon pour une précision donnée

On veut une demi-amplitude au plus égale à e : z x σ / $\sqrt{n}$ ≤ e, d'où :

À retenir

n ≥ ( z x σ / e )²

On arrondit à l'entier supérieur.

4.6 Interpréter correctement

Un intervalle à 95 % signifie : si l'on répétait le prélèvement un grand nombre de fois et que l'on construisait chaque fois l'intervalle de la même façon, environ 95 % des intervalles contiendraient la vraie moyenne. Il est incorrect d'affirmer « la moyenne a 95 % de chances d'être dans cet intervalle » : une fois l'intervalle calculé, la moyenne y est, ou n'y est pas.

05Risques liés aux outils de qualité et à leur contrôle

Risque	Explication	Parade
Échantillon non représentatif	Prélèvement toujours au même moment ou sur la même machine : estimations biaisées	Tirage aléatoire, stratification
Instrument de mesure défaillant	Mesures fausses, donc cartes et estimations fausses	Étalonnage, contrôle des instruments
Fausses alertes	Un point sort par hasard (0,27 % des cas avec ± 3 σ)	Règles d'interprétation, nouveau prélèvement
Fausse sécurité	Procédé stable mais non capable (Cp faible) : stabilité n'est pas conformité	Calculer la capabilité
Effets pervers	Opérateurs qui retouchent leurs mesures pour rester dans les limites	Audit, indépendance de la mesure
Coût du contrôle	Surcontrôle ou contrôle destructif cher	Arbitrer taille d'échantillon et coût
Mauvaise hypothèse de loi	Variable non normale : calculs inexacts	Vérifier l'adéquation (histogramme)
Précision insuffisante	Échantillon trop petit : intervalle trop large pour décider	Calculer la taille nécessaire

06L'écrit pour conseiller le décideur

Il doit transformer les résultats en décision : le procédé est-il stable, capable, faut-il intervenir, élargir l'échantillon ? Il rappelle les hypothèses (loi normale, échantillon aléatoire), la marge d'incertitude, les coûts et les risques, et propose un suivi (fréquence des prélèvements, indicateurs).

Exemples corrigés

Cas 1 : carte de contrôle, proportion hors tolérance et capabilité

Énoncé : une ligne de conditionnement remplit des sachets de 500 g. Le poids X suit une loi normale de moyenne μ = 500 g et d'écart-type σ = 4 g. La tolérance est de 488 g à 512 g. On prélève toutes les heures un échantillon de n = 16 sachets. Moyennes des dix derniers échantillons : 499,8 ; 500,6 ; 501,2 ; 500,9 ; 502,1 ; 501,5 ; 501,8 ; 502,4 ; 503,4 ; 502,9.

Travail à faire : 1. calculer les limites de la carte des moyennes ; 2. interpréter ; 3. calculer la proportion de sachets hors tolérance en situation normale puis si la moyenne dérive à 502 g ; 4. calculer Cp et Cpk (formules fournies : Cp = (LSS - LSI) / 6σ ; Cpk = min[(LSS - μ) ; (μ - LSI)] / 3σ) ; 5. conclure.

Corrigé

Limites : σ / $\sqrt{n}$ = 4 / $\sqrt{16}$ = 4 / 4 = 1 g.

Limites de contrôle (± 3) : 500 + 3 = 503 ; 500 - 3 = 497.
Limites de surveillance (± 1,96) : 501,96 et 498,04.

Interprétation

L'échantillon n° 9 (503,4) dépasse la limite haute de contrôle : signal d'alarme.
Les échantillons n° 5 (502,1), n° 8 (502,4), n° 9 et n° 10 (502,9) dépassent la limite de surveillance haute.
Les échantillons n° 2 à n° 10 sont tous au-dessus de 500 (9 points consécutifs du même côté) : décalage de la moyenne vers le haut, avec tendance croissante.
Moyenne des cinq derniers échantillons : (501,5 + 501,8 + 502,4 + 503,4 + 502,9) / 5 = 502,4 g : dérive de l'ordre de 2 g. Le procédé n'est plus centré : intervention (réglage du doseur) nécessaire.

Proportions hors tolérance

Procédé centré (μ = 500) : z = (488 - 500) / 4 = - 3 et (512 - 500) / 4 = + 3. P(X < 488) = P(T < - 3) = 0,00135 ; P(X > 512) = 0,00135. Total 0,27 %.
Après dérive (μ = 502) : P(X < 488) = P(T < - 3,5) = 0,00023 ; P(X > 512) = P(T > 2,5) = 0,00621. Total 0,64 %, soit environ 2,4 fois plus de non-conformes.

Capabilité

Cp = (512 - 488) / (6 x 4) = 24 / 24 = 1,00.
Cpk (procédé centré) = min(12 ; 12) / 12 = 1,00. Cpk après dérive (μ = 502) = min(10 ; 14) / 12 = 0,83.

Conclusion : la carte a détecté la dérive avant que la proportion de sachets hors tolérance n'explose (0,64 % seulement), mais le procédé n'a même pas de marge quand il est centré (Cp = 1,00 : très juste). Recommandation : régler le doseur, réduire la dispersion (maintenance, matières premières) pour passer à un Cp supérieur, et maintenir la carte. Limites : on suppose une loi normale ; un échantillonnage horaire peut manquer des dérives brèves ; l'énoncé fixe les règles d'interprétation.

Cas 2 : estimer une moyenne et dimensionner un échantillon

Énoncé : l'atelier d'usinage de Mécalys fabrique des tiges de diamètre cible 50 mm. Un échantillon de n = 100 tiges donne un diamètre moyen $\bar{x}$ = 50,12 mm. Le diamètre suit une loi normale d'écart-type connu σ = 0,4 mm.

Travail à faire : 1. déterminer l'intervalle de confiance à 95 % de la moyenne ; 2. le calculer à 99 % et à 90 % ; 3. déterminer la taille d'échantillon pour une demi-amplitude de 0,05 mm à 95 % ; 4. dans un second atelier, avec σ inconnu : n = 36, $\bar{x}$ = 120,4 g, écart-type de l'échantillon s = 6,0 g (calculé avec n), IC à 95 % ; 5. conclure.

Corrigé

σ / $\sqrt{n}$ = 0,4 / $\sqrt{100}$ = 0,04. Demi-amplitude à 95 % : 1,96 x 0,04 = 0,0784. IC95 % = [50,12 - 0,0784 ; 50,12 + 0,0784] = [50,042 ; 50,198], soit environ [50,04 ; 50,20].
À 99 % : 2,576 x 0,04 = 0,103 : IC = [50,017 ; 50,223]. À 90 % : 1,645 x 0,04 = 0,0658 : IC = [50,054 ; 50,186]. Plus le niveau de confiance est élevé, plus l'intervalle est large.
n ≥ (1,96 x 0,4 / 0,05)² = (15,68)² = 245,86, donc n = 246 tiges. Pour une demi-amplitude 0,0784 avec 100 tiges, il faut environ 2,5 fois plus de tiges pour atteindre 0,05.
σ inconnu : σ̂ = 6,0 x $\sqrt{36 / 35}$ = 6,085 ; σ̂ / $\sqrt{n}$ = 6,085 / 6 = 1,014 ; demi-amplitude 1,96 x 1,014 = 1,988 ; IC95 % = [120,4 - 1,988 ; 120,4 + 1,988] = [118,41 ; 122,39] g. (n = 36 ≥ 30 : on conserve z = 1,96 conformément au programme.)
Conclusion : pour les tiges, la cible de 50 mm ne figure pas dans l'intervalle à 95 % : l'estimation indique un décalage de réglage vers le haut, d'environ + 0,12 mm. Elle est aussi, de peu, hors de l'intervalle à 99 % (borne basse 50,017). Cette lecture reste descriptive (les tests d'hypothèse sont hors programme) : avant d'intervenir, on rapproche l'écart de 0,12 mm de la tolérance et on recontrôle sur un nouvel échantillon. Limites : hypothèse d'échantillon aléatoire et de loi normale ; l'intervalle donne une fourchette sur la moyenne, non sur chaque pièce.

Vocabulaire essentiel

Terme	Définition
Loi normale N(μ ; σ)	Loi en cloche symétrique de moyenne μ et d'écart-type σ
Variable centrée réduite	T = (X - μ) / σ, de loi N(0 ; 1)
Tolérance (LSI, LSS)	Limites inférieure et supérieure de conformité
Capabilité (Cp, Cpk)	Aptitude d'un procédé à respecter la tolérance
Carte de contrôle	Graphique de suivi d'une statistique avec des limites statistiques
Limites de contrôle / de surveillance	Seuils d'intervention (± 3 σ/ $\sqrt{n}$ ) / d'alerte (± 1,96 σ/ $\sqrt{n}$ )
Échantillon	Partie prélevée de la population, supposée représentative
Estimateur	Valeur calculée sur l'échantillon pour estimer un paramètre
Intervalle de confiance	Fourchette de valeurs plausibles de la moyenne à un niveau donné
Niveau de confiance	Probabilité de la méthode de construire un intervalle contenant la moyenne

Points clés à retenir

Seule la loi normale est utilisée ; les tests d'hypothèse ne sont pas au programme.
Pour calculer une probabilité : centrer et réduire, puis lire la table (symétrie).
Proportion hors tolérance = P(X < LSI) + P(X > LSS).
La moyenne d'un échantillon suit N(μ ; σ/ $\sqrt{n}$ ).
Carte des moyennes : μ ± 3 σ/ $\sqrt{n}$ (contrôle) et μ ± 1,96 σ/ $\sqrt{n}$ (surveillance).
Une carte mesure la stabilité, pas la conformité ; la capabilité mesure l'aptitude à tenir la tolérance.
Intervalle de confiance d'une moyenne : $\bar{x}$ ± z x σ/ $\sqrt{n}$ (z = 1,645, 1,96, 2,576).
Multiplier n par 4 divise l'amplitude de l'intervalle par 2 ; la taille nécessaire se déduit de n ≥ (zσ/e)².
Interpréter un intervalle par la méthode (répétitions), pas par une probabilité sur la moyenne.
L'écrit au décideur rappelle les hypothèses et les risques.

Pièges fréquents

Oublier la division par $\sqrt{n}$ pour les limites d'une carte des moyennes ou un intervalle de confiance.
Confondre limites de tolérance et limites de contrôle : les premières portent sur les pièces, les secondes sur les moyennes d'échantillons.
Interpréter l'intervalle comme « 95 % de chances que la moyenne y soit ».
Arrondir n à l'entier inférieur : on arrondit toujours à l'entier supérieur.
Utiliser un z inadapté (1,96 pour 99 % au lieu de 2,576).
Calculer un intervalle de confiance d'une proportion ou faire un test : hors programme.
Conclure qu'un procédé stable est conforme : il peut être stable mais incapable.
Oublier de rappeler les hypothèses (loi normale, échantillon aléatoire) dans l'écrit.
Utiliser l'écart-type de l'échantillon sans la correction n / (n - 1) quand l'énoncé donne l'écart-type calculé avec n.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment calculer la proportion de pièces hors tolérance avec la loi normale ? R : On centre et on réduit chaque borne de tolérance avec z = (borne - μ) / σ, puis on additionne la probabilité de dépasser la limite supérieure et celle d'être sous la limite inférieure, en utilisant la table et la symétrie.

Q : Comment construire une carte de contrôle des moyennes ? R : Ligne centrale μ ; limites de contrôle μ ± 3 σ/ $\sqrt{n}$ ; limites de surveillance μ ± 1,96 σ/ $\sqrt{n}$ , avec n la taille de chaque échantillon. On reporte la moyenne de chaque échantillon et on interprète : point hors limites, série du même côté, tendance.

Q : Quelle différence entre une carte de contrôle et la capabilité ? R : La carte vérifie que le procédé est stable dans le temps. La capabilité (Cp, Cpk) compare la dispersion du procédé à la tolérance. Un procédé peut être stable et pourtant incapable de respecter la tolérance.

Q : Comment calculer un intervalle de confiance d'une moyenne ? R : $\bar{x}$ ± z x σ/ $\sqrt{n}$ , avec z de la loi normale (1,645 à 90 %, 1,96 à 95 %, 2,576 à 99 %). Si σ est inconnu et n assez grand, on le remplace par son estimation. Le programme ne couvre que l'intervalle d'une moyenne.

Q : Comment déterminer la taille d'un échantillon ? R : On fixe la demi-amplitude e souhaitée et le niveau de confiance (donc z), puis n ≥ (zσ/e)², arrondi à l'entier supérieur.

Q : Que signifie un intervalle de confiance à 95 % ? R : Si l'on répétait l'échantillonnage et construisait l'intervalle de la même manière, environ 95 % des intervalles contiendraient la vraie moyenne. Cela ne veut pas dire que la moyenne a 95 % de chances de se trouver dans l'intervalle calculé.

Q : Quels risques liés aux outils de la qualité faut-il citer ? R : Échantillon non représentatif, instruments mal étalonnés, fausses alertes (0,27 % avec ± 3 σ), fausse sécurité d'un procédé stable mais non capable, manipulation des mesures, coût du contrôle, hypothèse de normalité non vérifiée et précision insuffisante.