Prévoir les approvisionnements : modèle de Wilson, tarif dégressif et avenir aléatoire

À retenir

Cadre programme : DCG, programme 2025 (arrêté du 4 août 2025, première session 2027), UE 11 « Contrôle de gestion », partie 3 « Mettre en œuvre une démarche budgétaire pour piloter une organisation », sous-partie 3.2 « Mettre en œuvre les techniques prévisionnelles pour la gestion budgétaire » (outils pour prévoir les budgets d'approvisionnement). Seul le modèle de Wilson simple sans pénurie est abordé ; la pénurie n'est donc pas traitée. En revanche, le tarif dégressif et l'avenir aléatoire sont étudiés. Les méthodes de juste à temps ne sont pas abordées.

Pourquoi c'est central à l'examen : le budget des approvisionnements découle de deux décisions : combien acheter à chaque commande et quand commander. L'épreuve écrite de 4 h demande de calculer la quantité économique, le coût de gestion, de comparer des tarifs ou de fixer un stock de sécurité avec la loi normale, puis de conseiller le décideur en tenant compte des contraintes que le modèle ignore (stockage, trésorerie, obsolescence).

01Les coûts de la gestion des stocks

Coût	Définition	Évolution avec la taille de la commande Q
Coût d'achat	Quantité achetée × prix d'achat	Indépendant de Q (si le prix est constant)
Coût de passation (de commande)	Coût administratif et logistique d'une commande (Cl, par commande)	Diminue quand Q augmente (moins de commandes)
Coût de possession (de stockage)	Coût de détention d'un stock : loyer des locaux, assurance, manutention, financement, perte, obsolescence ; en général un taux de possession t appliqué à la valeur du stock moyen	Augmente avec Q (stock moyen plus élevé)

Le coût unitaire annuel de possession est cp = t × p (t : taux de possession ; p : prix d'achat unitaire), ou une valeur donnée directement par l'énoncé.

Le décideur cherche la taille de commande qui minimise le coût de gestion (passation + possession) : commander souvent coûte en frais de commande, commander rarement coûte en stockage.

02Le modèle de Wilson simple (sans pénurie)

2.1 Hypothèses

La demande annuelle N est connue et régulière.
Le prix d'achat est constant (pas de remise selon les quantités).
Chaque commande a la même quantité Q et est livrée d'un seul coup.
La consommation est régulière et le délai de livraison connu et constant : la livraison arrive au moment où le stock s'annule, donc pas de pénurie (hors programme).
Le stock moyen est Q / 2.

2.2 Formules

Grandeur	Formule
Nombre de commandes par an	N / Q
Coût annuel de passation	(N / Q) × Cl
Stock moyen	Q / 2
Coût annuel de possession	(Q / 2) × cp (avec cp = t × p)
Coût de gestion	CG(Q) = (N / Q) × Cl + (Q / 2) × cp
Quantité économique	*Q = $\sqrt{2 × N × Cl / cp}$**
Coût de gestion minimal	CG* = $\sqrt{2 × N × Cl × cp}$ = 2 × coût de possession à l'optimum
Nombre de commandes optimal	N / Q*
Intervalle entre deux commandes	Durée de l'année (360 jours, sauf indication contraire) / (N / Q*)
Coût total (avec achat)	N × p + CG

À l'optimum, coût de passation = coût de possession. La courbe de coût est plate près de l'optimum : s'écarter de Q* de 20 à 30 % coûte peu, ce qui laisse une marge pour tenir compte d'autres contraintes (lots d'achat, place disponible).

03Le tarif dégressif

Le fournisseur propose un prix unitaire décroissant par tranches de quantité commandée. Le prix change ; donc le coût d'achat et, si le taux de possession est un pourcentage du prix, le coût de possession dépendent de la tranche. On compare les coûts totaux (achat compris).

Étape	Opération
1	Pour chaque tranche, calculer la quantité économique avec le prix de la tranche : Q* = $\sqrt{2·N·Cl / (t·p}$ )
2	Retenir une quantité candidate par tranche : si Q* est dans la tranche, c'est Q* ; si Q* est inférieure à la borne basse de la tranche, la candidate est la borne basse (la plus petite quantité qui donne droit au prix) ; si Q* est supérieure à la borne haute, la tranche n'a pas d'intérêt (la tranche suivante, au prix plus bas, la domine)
3	Calculer le coût total de chaque candidate : N × p + coût de passation + coût de possession
4	Retenir la candidate de coût total minimal

Une remise peut donc conduire à commander plus que la quantité de Wilson : l'économie sur le prix d'achat compense l'excès de stockage. Mais cet arbitrage ne tient compte que des coûts chiffrés : stockage physique, trésorerie immobilisée, risque d'obsolescence ou de péremption sont à discuter.

04L'avenir aléatoire : stock de sécurité

Dans la réalité, la demande pendant le délai de livraison (le temps entre la commande et la réception) est incertaine. Si elle dépasse le stock disponible, c'est la rupture.

4.1 Le modèle

Soit X la demande pendant le délai de livraison, supposée suivre une loi normale N(μ ; σ) :

μ = demande moyenne pendant le délai (par exemple demande journalière moyenne × délai en jours) ;
σ = écart-type de la demande pendant le délai (si les demandes journalières sont indépendantes d'écart-type σj et le délai de L jours, σ = σj × $\sqrt{L}$ ).

Grandeur	Formule
Niveau de service	Probabilité de ne pas rompre pendant un délai : P(X ≤ s)
Stock de sécurité (SS)	SS = z × σ, où z se lit dans la table de la loi normale centrée réduite pour la probabilité choisie
Point de commande (stock d'alerte)	μ + SS : on passe commande quand le stock atteint ce niveau
Stock moyen	Q / 2 + SS
Coût de possession du stock de sécurité	SS × cp

Valeurs usuelles de la table de la loi normale centrée réduite :

Niveau de service (probabilité)	90 %	95 %	97,5 %	99 %	99,9 %
z	1,28	1,645	1,96	2,33	3,09

Le niveau de service est un arbitrage : plus le stock de sécurité est élevé, moins les ruptures sont probables, mais plus le coût de possession augmente (et de plus en plus vite : passer de 97,5 % à 99,9 % coûte beaucoup plus que de 90 % à 95 %).

05Intérêts et limites

Intérêts	Limites
Fournit une règle simple, chiffrée et transparente	Hypothèses fortes : demande régulière et connue, prix constant
Montre l'arbitrage entre coût de commande et coût de stockage	Les coûts de passation et de possession sont difficiles à mesurer précisément
Le tarif dégressif intègre l'effet prix	Ignore les contraintes de stockage, de trésorerie, de péremption
L'avenir aléatoire chiffre le coût d'un niveau de service	Le choix du niveau de service reste une décision de gestion ; la loi normale est supposée

À retenir

Hors programme UE 11 : la pénurie (rupture admise) dans le modèle de Wilson et les méthodes de juste à temps.

Exemples corrigés

Cas 1 : le modèle de Wilson et la sensibilité du coût

Énoncé : une entreprise achète 18 000 unités par an d'une pièce au prix de 20 €. Le coût de passation d'une commande est de 40 €. Le taux de possession est de 20 % du prix d'achat. L'année compte 360 jours. Calculer la quantité économique, le nombre de commandes, l'intervalle entre commandes et le coût total. Mesurer l'écart de coût pour des commandes de 450, 800 et 1 000 unités.

Corrigé :

Coût unitaire de possession : cp = 20 % × 20 = 4 € par unité et par an.
Q* = $\sqrt{2 × 18 000 × 40 / 4}$ = $\sqrt{360}$ 000 = 600 unités.
Nombre de commandes : 18 000 / 600 = 30 par an.
Intervalle : 360 / 30 = 12 jours.
Stock moyen : 600 / 2 = 300 unités.

Poste	Calcul	Montant (€)
Coût de passation	30 × 40	1 200
Coût de possession	300 × 4	1 200
Coût de gestion CG*
2 400
Coût d'achat	18 000 × 20	360 000
Coût total
362 400

Contrôle : CG* = $\sqrt{2 × 18 000 × 40 × 4}$ = $\sqrt{5}$ 760 000 = 2 400 ; à l'optimum, passation = possession.

Sensibilité :

Q	Commandes N / Q	Passation (N/Q × 40)	Possession (Q/2 × 4)	Coût de gestion	Écart avec l'optimum
450	40	1 600	900	2 500	+ 100 (+ 4,2 %)
600	30	1 200	1 200	2 400
800	22,5	900	1 600	2 500	+ 100 (+ 4,2 %)
1 000	18	720	2 000	2 720	+ 320 (+ 13,3 %)

Analyse : la courbe est plate autour de 600 : commander 450 ou 800 unités coûte 100 € de plus par an (+ 4,2 %) alors que les quantités diffèrent de 25 % et plus. Si la place de stockage est limitée à 450 unités, la perte est faible. En revanche, commander 1 000 unités à chaque fois (18 commandes par an) coûte 13 % de plus sur la gestion, mais cet écart (320 €) est faible face au coût d'achat annuel (360 000 €). Limite : le modèle suppose une demande régulière ; une saisonnalité forte (cours 13) appelle d'autres calculs.

Cas 2 : le tarif dégressif

Énoncé : avec les données du cas 1 (N = 18 000 ; coût de passation 40 € ; taux de possession 20 % du prix), le fournisseur propose :

Quantité commandée	Prix unitaire (€)
Moins de 1 000	20,00
De 1 000 à 1 999	19,90
2 000 et plus	19,80

Quelle quantité faut-il commander ?

Corrigé :

Quantité économique et candidate de chaque tranche :

Tranche	Prix p	cp = 20 % × p	Q* = $\sqrt{1 440 000 / cp}$	Candidate retenue
Moins de 1 000	20,00	4,00	600 (dans la tranche)	600
1 000 à 1 999	19,90	3,98	601,5 (inférieure à 1 000)	1 000 (borne basse)
≥ 2 000	19,80	3,96	603,0 (inférieure à 2 000)	2 000 (borne basse)

(2 × N × Cl = 2 × 18 000 × 40 = 1 440 000.)

Coût total de chaque candidate :

	Q = 600 (p = 20,00)	Q = 1 000 (p = 19,90)	Q = 2 000 (p = 19,80)
Achat (N × p)	360 000	358 200	356 400
Passation (N / Q × 40)	30 × 40 = 1 200	18 × 40 = 720	9 × 40 = 360
Possession (Q / 2 × cp)	300 × 4,00 = 1 200	500 × 3,98 = 1 990	1 000 × 3,96 = 3 960
Coût total	362 400	360 910	360 720

Quantité de coût minimal : 2 000 unités (360 720 €), soit 1 680 € d'économie par rapport à la quantité de Wilson (362 400 €).

Analyse : la remise, même faible (0,5 % puis 1 %), fait préférer des commandes bien supérieures à Wilson. Mais le gain de 2 000 par rapport à 1 000 unités n'est que de 190 € par an (360 910 - 360 720), soit 0,05 % du coût total, alors que le stock moyen double : 500 × 19,90 = 9 950 € contre 1 000 × 19,80 = 19 800 €. Le taux de possession de 20 % inclut le coût du capital, mais ni le risque d'obsolescence ni la place utilisée. Recommandation : retenir 1 000 unités (18 commandes par an), qui capte l'essentiel du gain, sauf si l'entrepôt est vide et le produit durable. Limite : ce raisonnement suppose que la demande reste régulière et que le fournisseur maintient son tarif.

Cas 3 : stock de sécurité et point de commande (avenir aléatoire)

Énoncé : suite du cas 1. La demande journalière moyenne est de 50 unités (18 000 / 360), d'écart-type 12 unités et les demandes journalières sont indépendantes. Le délai de livraison est de 9 jours. Déterminer, pour un niveau de service de 95 %, 97,5 % et 99 %, le stock de sécurité, le point de commande et son coût de possession. Un événement de rupture coûte 400 € (marge perdue et pénalités) ; chaque commande est exposée au risque de rupture. Quel niveau de service retenir ?

Corrigé :

Loi de la demande pendant le délai : μ = 50 × 9 = 450 unités ; σ = 12 × $\sqrt{9}$ = 12 × 3 = 36 unités.

Niveau de service	z (table)	Stock de sécurité z × 36	Point de commande 450 + SS	Coût de possession du SS (× 4 €)
95 %	1,645	59,22	509,22	236,88 €
97,5 %	1,96	70,56	520,56	282,24 €
99 %	2,33	83,88	533,88	335,52 €
99,9 %	3,09	111,24	561,24	444,96 €

Arbitrage coût de rupture et coût du stock de sécurité : on passe 30 commandes par an (cas 1) ; le nombre moyen de commandes en rupture est 30 × (1 - niveau de service).

Niveau de service	Ruptures attendues par an	Coût attendu des ruptures (× 400 €)	Coût du stock de sécurité	Coût total
95 %	30 × 5 % = 1,5	600,00	236,88	836,88
97,5 %	30 × 2,5 % = 0,75	300,00	282,24	582,24
99 %	30 × 1 % = 0,3	120,00	335,52	455,52
99,9 %	30 × 0,1 % = 0,03	12,00	444,96	456,96

Parmi les niveaux testés, le coût total est minimal pour 99 % (455,52 €), le niveau de 99,9 % étant à peine plus coûteux.

Avec 97,5 % : stock moyen = 600 / 2 + 70,56 = 370,56 unités ; coût de possession total = 370,56 × 4 = 1 482,24 €.

Analyse et écrit : « Je recommande de retenir un niveau de service de 99 %, soit un stock de sécurité de 84 unités et un point de commande de 534 unités : le coût supplémentaire du stock de sécurité par rapport à 95 % (près de 99 € par an) est inférieur au coût des ruptures évitées (480 € par an). Parmi les niveaux testés, 99 % est le moins coûteux ; 99,9 % coûte à peine plus : l'optimum se situe entre les deux, et au-delà de 99,9 % le coût du stock de sécurité augmente plus vite que les ruptures évitées. Cette conclusion dépend du coût estimé d'une rupture (400 €), de la normalité de la demande et du délai supposé fixe : à réviser si l'un d'eux change. »

Vocabulaire essentiel

Terme	Définition
Coût de passation	Coût d'une commande (administratif, transport, réception)
Coût de possession	Coût de détention d'un stock (stockage, assurance, financement, obsolescence)
Taux de possession	Pourcentage de la valeur du stock moyen imputé chaque année comme coût de possession
Quantité économique (Wilson)	Taille de commande qui minimise le coût de gestion (passation + possession)
Stock moyen	Q / 2 dans le modèle de Wilson (plus le stock de sécurité)
Tarif dégressif	Prix unitaire décroissant avec la quantité commandée
Délai de livraison	Temps entre la commande et la réception
Stock de sécurité	Stock supplémentaire destiné à absorber les aléas de la demande pendant le délai
Point de commande (stock d'alerte)	Niveau de stock qui déclenche la commande
Niveau de service	Probabilité de ne pas rompre pendant un délai de livraison

Points clés à retenir

Wilson : Q* = $\sqrt{2·N·Cl / cp}$ avec cp = t × p ; hypothèses de demande régulière, prix constant, pas de pénurie.
Coût de gestion = (N/Q) × Cl + (Q/2) × cp ; à l'optimum, passation = possession et CG* = $\sqrt{2·N·Cl·cp}$ .
Le coût est plat près de l'optimum : un écart de 20 à 30 % sur Q coûte peu.
Tarif dégressif : calculer Q* par tranche, retenir la quantité candidate (Q* ou borne basse), comparer les coûts totaux achat compris.
Une remise peut justifier de commander plus que Wilson ; discuter stockage, trésorerie, obsolescence.
Avenir aléatoire : demande pendant le délai ~ N(μ ; σ) ; stock de sécurité = z × σ ; point de commande = μ + SS.
Si les demandes journalières sont indépendantes : σ du délai = σ journalier × $\sqrt{délai en jours}$ .
Le niveau de service est un arbitrage entre coût de possession du stock de sécurité et coût des ruptures.
La pénurie et le juste à temps ne sont pas au programme.
L'écrit au décideur doit montrer que le modèle est une aide, pas une décision automatique.

Pièges fréquents

Oublier le facteur 2 dans la formule de Q* ou le diviser par erreur.
Confondre le taux de possession et le coût unitaire de possession : cp = t × p.
Compter le stock moyen comme Q au lieu de Q/2.
Comparer les tranches sur le seul coût de gestion sans inclure le coût d'achat dans le cas d'un tarif dégressif.
Retenir Q* d'une tranche qui n'est pas dans la plage de quantités de cette tranche.
Oublier de recalculer cp avec le prix de la tranche quand le taux de possession est un pourcentage du prix.
Prendre σ journalier comme σ du délai sans multiplier par $\sqrt{nombre de jours}$ .
Mal lire la table de la loi normale (par exemple 95 % : z = 1,645, pas 1,96 qui correspond à 97,5 %).
Traiter la pénurie ou le juste à temps : hors programme UE 11.
Appliquer le résultat sans l'analyser : stockage et trésorerie limitent souvent la solution théorique.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Que représente la quantité économique de Wilson ? R : C'est la taille de commande qui minimise la somme du coût annuel de passation et du coût annuel de possession. Q* = $\sqrt{2·N·Cl / cp}$ , où N est la demande annuelle, Cl le coût de passation et cp le coût unitaire annuel de possession.

Q : Pourquoi le coût de passation égale-t-il le coût de possession à l'optimum ? R : Parce que le coût de passation (N/Q × Cl) décroît avec Q et le coût de possession (Q/2 × cp) croît avec Q : leur somme est minimale à leur point d'égalité.

Q : Comment traiter un tarif dégressif ? R : On calcule la quantité de Wilson pour chaque prix. Si elle est dans la tranche, on la retient ; si elle est trop faible, on retient la borne basse de la tranche. On compare ensuite les coûts totaux (achat, passation, possession) des quantités candidates et on choisit le plus faible.

Q : Comment calcule-t-on le stock de sécurité ? R : SS = z × σ, où σ est l'écart-type de la demande pendant le délai de livraison et z est lu dans la table de la loi normale centrée réduite pour le niveau de service retenu (1,645 pour 95 % ; 1,96 pour 97,5 % ; 2,33 pour 99 %). Le point de commande est la demande moyenne pendant le délai augmentée du stock de sécurité.

Q : Pourquoi ne pas viser 100 % de niveau de service ? R : Parce que le stock de sécurité nécessaire augmente de plus en plus vite avec le niveau de service (z devient très grand) alors que les ruptures évitées deviennent rares. Le bon niveau compare le coût de possession du stock de sécurité au coût des ruptures évitées.

Q : La pénurie est-elle étudiée en UE 11 ? R : Non : seul le modèle de Wilson simple sans pénurie est au programme. Le tarif dégressif et l'avenir aléatoire sont étudiés. Les méthodes de juste à temps ne le sont pas.