Chapitre 3 — Inférence bayésienne, échantillonnage, temps d'attente

Q: Pourquoi l'inférence bayésienne est-elle "contre-intuitive" pour les tests médicaux ?

Parce que la **prévalence** (rareté de la maladie) écrase la sensibilité du test. Si la maladie est rare (1 %) et qu'un test a 10 % de faux positifs, alors la majorité des tests positifs viendront du grand groupe de non-malades (99 % de la population × 10 % de faux positifs = 9,9 %), beaucoup plus que les vrais positifs (1 % × 95 % = 0,95 %).

Q: Quelle différence entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance ?

**Intervalle de fluctuation** : connaissant $p$ (vraie proportion), je prédis dans quel intervalle se trouvera la fréquence observée. **Intervalle de confiance** : connaissant la fréquence observée, j'estime dans quel intervalle se trouve la vraie proportion $p$. Inverse l'un de l'autre.

Q: Quand utiliser la loi exponentielle plutôt qu'une autre loi continue ?

Pour les phénomènes de **temps d'attente sans mémoire** : intervalle entre 2 émissions radioactives, 2 clients, 2 pannes. Si la situation a une "mémoire" (par exemple un client met d'autant plus de temps à arriver qu'on l'attend), une autre loi (normale, gamma...) serait plus adaptée.

À retenir

Programme officiel — Maths complémentaires, thèmes : "Inférence bayésienne", "Répétition d'expériences indépendantes et échantillonnage", "Temps d'attente".

Inférence bayésienne

Rappel — Formule de Bayes

Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ : $P_B(A) = \dfrac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)}$

Vocabulaire bayésien :

$P(A)$ : probabilité a priori (avant d'observer $B$ ).
$P_B(A)$ : probabilité a posteriori (après avoir observé $B$ ).
$P_A(B)$ : vraisemblance ( $B$ sachant $A$ ).
$P(B)$ : évidence (probabilité d'observer $B$ , calculée par probabilités totales).

Exemple classique : test médical

Une maladie touche 1 % d'une population. Un test détecte la maladie avec sensibilité 95 % (vrai positif si malade) et spécificité 90 % (vrai négatif si non malade).

Quelle est la probabilité d'être réellement malade sachant qu'on a un test positif ?

Notations : $M$ = "malade", $T$ = "test positif".

$P(M) = 0{,}01$ (a priori).
$P_M(T) = 0{,}95$ (sensibilité).
$P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90$ , donc $P_{\overline{M}}(T) = 0{,}10$ (faux positifs).

Calcul de $P(T)$ par probabilités totales : $P(T) = P(M) \cdot P_M(T) + P(\overline{M}) \cdot P_{\overline{M}}(T) = 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}10 = 0{,}1085$

Calcul de $P_T(M)$ par Bayes : $P_T(M) = \dfrac{P(M) \cdot P_M(T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}01 \cdot 0{,}95}{0{,}1085} \approx 0{,}088 = 8{,}8\%$

Conclusion contre-intuitive : malgré un test positif, la probabilité d'être malade est seulement 8,8 %. La prévalence faible (1 %) écrase la sensibilité du test.

Mise à jour bayésienne

Si on refait un second test indépendant et qu'il est positif aussi :

Nouvelle a priori : $P(M) = 0{,}088$ (la précédente a posteriori).
Nouveau Bayes : $P(M | T_1 T_2) \approx \dfrac{0{,}088 \cdot 0{,}95}{0{,}088 \cdot 0{,}95 + 0{,}912 \cdot 0{,}10} \approx 47 \%$ .

La probabilité a posteriori se met à jour à chaque nouvelle observation. C'est le principe central de l'inférence bayésienne.

Échantillonnage et loi binomiale

Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues, succès (proba $p$ ) ou échec ( $1-p$ ).

Un schéma de Bernoulli : répétition de $n$ épreuves indépendantes et identiques.

Loi binomiale

$X$ = nombre de succès dans le schéma. Alors $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)$

Intervalle de fluctuation à 95 %

Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec $n$ grand ( $n \geq 30$ , $np \geq 5$ , $n(1-p) \geq 5$ ), la fréquence empirique $F = X/n$ vérifie : $P\left(F \in \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\right) \geq 0{,}95$

Usage : tester si une fréquence observée est compatible avec une proportion théorique.

Exemple : un fabricant annonce 10 % de pièces défectueuses. Sur un lot de 400 pièces, on en compte 50 défectueuses. Compatible avec l'annonce ?

$p = 0{,}10$ , $n = 400$ . Intervalle : $[0{,}10 - 0{,}05; 0{,}10 + 0{,}05] = [0{,}05; 0{,}15]$ .
Fréquence observée : $50/400 = 0{,}125 \in [0{,}05; 0{,}15]$ . Compatible avec l'annonce du fabricant.

Temps d'attente — loi exponentielle

Définition

Une variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ si sa densité est : $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0$

Fonction de répartition : $P(T \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Espérance

$E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$

C'est le temps moyen d'attente.

Propriété d'absence de mémoire

$P(T > s + t \mid T > s) = P(T > t)$

Interprétation : si on a déjà attendu $s$ minutes, la probabilité d'attendre encore $t$ minutes ne dépend pas de $s$ . C'est la spécificité de la loi exponentielle.

Applications

File d'attente (entre deux clients dans un supermarché, deux appels dans un centre d'appels).
Désintégration radioactive (temps avant désintégration d'un atome).
Fiabilité (durée de vie sans panne d'un composant).

Exemple

Le temps d'attente entre deux clients dans une boutique suit une loi exponentielle d'espérance 5 minutes.

$\lambda = 1/5 = 0{,}2$ .
$P(T \leq 3) = 1 - e^{-0{,}2 \cdot 3} = 1 - e^{-0{,}6} \approx 0{,}451$ .
$P(T > 10) = e^{-2} \approx 0{,}135$ .
$P(T > 15 \mid T > 5) = P(T > 10) \approx 0{,}135$ (absence de mémoire).

Exercice-type

Énoncé : Dans un labo, le temps d'attente entre deux émissions radioactives suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$ (en secondes).

Calculer l'espérance.
Calculer $P(T \leq 1)$ et $P(T > 4)$ .
Si on a déjà attendu 2 secondes sans émission, quelle est la probabilité d'attendre encore plus d'une seconde ?

Corrigé :

$E(T) = 1/\lambda = 2$ secondes.
$P(T \leq 1) = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}393$ . $P(T > 4) = e^{-2} \approx 0{,}135$ .
Par absence de mémoire : $P(T > 3 \mid T > 2) = P(T > 1) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}607$ .

Pièges à éviter

Confondre densité et probabilité ponctuelle. Pour une variable continue (loi exponentielle), $P(T = t) = 0$ pour tout $t$ . On parle uniquement de probabilités d'intervalles.
Oublier l'absence de mémoire. Ne pas calculer $P(T > 10) - P(T > 5)$ , c'est $P(T > 10) / P(T > 5)$ qu'il faut pour le conditionnel.
Mauvais paramètre $\lambda$ . Si l'espérance est 5 min, alors $\lambda = 1/5$ (pas 5). Inverse de l'espérance.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Pourquoi l'inférence bayésienne est-elle "contre-intuitive" pour les tests médicaux ? R : Parce que la prévalence (rareté de la maladie) écrase la sensibilité du test. Si la maladie est rare (1 %) et qu'un test a 10 % de faux positifs, alors la majorité des tests positifs viendront du grand groupe de non-malades (99 % de la population × 10 % de faux positifs = 9,9 %), beaucoup plus que les vrais positifs (1 % × 95 % = 0,95 %).

Q : Quelle différence entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance ? R : Intervalle de fluctuation : connaissant $p$ (vraie proportion), je prédis dans quel intervalle se trouvera la fréquence observée. Intervalle de confiance : connaissant la fréquence observée, j'estime dans quel intervalle se trouve la vraie proportion $p$ . Inverse l'un de l'autre.

Q : Quand utiliser la loi exponentielle plutôt qu'une autre loi continue ? R : Pour les phénomènes de temps d'attente sans mémoire : intervalle entre 2 émissions radioactives, 2 clients, 2 pannes. Si la situation a une "mémoire" (par exemple un client met d'autant plus de temps à arriver qu'on l'attend), une autre loi (normale, gamma...) serait plus adaptée.